Q1.
커패시터에 시간에 따라 최소 주파수에서 최대 주파수로 변하는 Sine파를 일정 시간 간격으로 인가하여 오실로스코프로 관찰하는 Sine Sweep test를 진행하려고 한다. Figure 1은 함수 발생기(Function generator)에 오실로스코프와 커패시터를 병렬로 연결한 회로도이다.
Rf는 함수 발생기의 내부저항, Ro는 오실로스코프의 입력저항, C는 커패시터의 커패시턴스이다. 함수발생기에서 입력 주파수 범위를 500Hz ~ 2kHz, 전압을 5V, sweep time을 500ms로 설정하고 커패시턴스의 값을 4.7μF, 22μF, 100μF로 바꿔가며 Sine sweep test를 진행하였을 때, sweep이 일어날 때 V1에서 측정되는 전압이 내려가는 원인을 설명하라. Rf = 50Ω, Ro = 1MΩ으로 가정한다.
<해설>
이 문제는 RC회로에서 커패시터값에 따라 V1에서의 측정 전압이 달라지는 이유에 대해 알아보기 위해 제작한 문제이다. 다음 표는 필자가 직접 회로를 구성한 후 V1에서 측정한 전압 값이다. 각 주파수마다 다른 종류의 커패시터를 사용하며 전압을 측정하였다.
| 500Hz | 1kHz | 2kHz | |
| 4.7 μF | 3.80V | 2.62V | 1.57V |
| 22 μF | 1.35V | 0.67V | 0.40V |
| 100 μF | 0.33V | 0.18V | 0.13V |
그럼 위의 수치를 증명하여 보도록하자.
먼저 오실로스코프(B)와 커패시터(C)의 등가 임피던스는 다음과 같이 나타난다. 오실로의 저항은 10^6 Ω , 커패시터의 임피던스는 1/jωC Ω 으로 계산한다.
(여기서 임피던스는 소자가 가지고 있는 R, L, C 저항성분의 합을 말한다. 잘모르겠으면 검색하여 공부해보라)
오실로스코프의 임피던스는 10^6 Ω 으로 저항 크기가 매우 높기 때문에 결국 계산을 해보면 작은 임피던스의 값을 따라가 1/jωC가 된다. 이는 병렬회로에서 임피던스가 상대적으로 큰 경우 큰 쪽의 저항은 무시한채 작은 쪽 임피던스 하나만 고려해도 된다는 뜻이다!!
등가 임피던스를 구했으면, 함수발생기의 저항을 이용해 V1의 전압식을 다음과 같이 전압분배법칙으로 구할 수 있다.
주파수 범위가 500Hz ~ 2kHz이므로 주파수가 500, 1k, 2k일 때를 가정하여 각 주파수 변화에 따른 전압 측정값을 계산한다. 전압의 크기를 구하는 식은 다음과 같다.
위의 식을 통해 주파수에 따라 각 고정 커패시터들의 C값을 바꿔가면서 계산한 값은 다음 표와 같다. 실제 측정한 값과 수식으로 계산한 값의 결과가 비슷한 것을 볼 수 있다.
| 500Hz | 1kHz | 2kHz | |
| 4.7 μF | 4.02V | 2.80V | 1.60V |
| 22 μF | 1.39V | 0.72V | 0.36V |
| 100 μF | 0.32V | 0.16V | 0.08V |
여기서 잠깐 보면, 함수발생기 임피던스의 크기는 50Ω , 커패시터의 임피던스의 크기는 1/ωC = 1/2πfC Ω 이었다. C=4.7μF / f=1kHz에서 커패시터 임피던스 크기를 계산하면 1/2πfC = 33.86Ω이다. 이는 함수발생기의 내부저항 Rf와 비슷한 값을 가지고 전압분배법칙에 따라 전체전압의 반절에 가까운 값이 된다는 것을 의미한다. 계산결과 표에서 보이듯이 입력전압 5V의 반절정도인 2.80V의 측정 전압을 가지는 것을 볼 수 있다.
C=4.7μF / f=2kHz로 커패시터를 유지한 채 주파수를 높이면 1/ωC의 크기가 작아져 임피던스가 16.93Ω의 값을 가진다. 마찬가지로 전압분배법칙을 적용하면, 1kHz때보다 낮아진 전압을 가질 것을 예상할 수 있다. 계산된 값은 1.60V로 입력 전압의 반절보다 훨씬 낮아진 것을 확인 할 수 있다.
결과적으로 sweep이 일어날 때 1/jωC의 주파수ω가 높아짐으로 인해 전압분배법칙에서 함수발생기의 임피던스와 등가 임피던스의 크기 차이가 발생하기 때문에 전압이 낮아지는 현상이 발생하는 것이다.